GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS By Bimbel Jakarta Timur

Baca Juga

Gradien adalah kemiringan suatu garis.

sedangkan Garis Lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik. Persamaan garis lurus menunjukkan perbandingan komponen y dan komponen x yang dilalui titik yang dimaksud.

Menentukan gradien garis berdasarkan gambar

Gradien garis dapat dihitung dengan :
komponen perpindahan vertikal (y)    
komponen perpindahan horisontal (x)

Komponen y ke atas bernilai positif, sedangkan jika ke arah bawah bernilai negatif.
Komponen x ke kanan bernilai positif, sedangkan jika ke kiri bernilai negatif.

Perhatikan gambar berikut !

Gambar 1

Gradien garis m=  ke atas 2 satuan    = 2   = 1 
                                ke bawah 4 satuan        4        2

Untuk menghitung gradien garis yang melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) digunakan rumus berikut:

Rumus

Perhatikan gambar berikut !

Gambar 2

mAB= 3 - 5   = -2  = 2 

             -3 - 4       -7       7

mCD= 4 - (-4)  =  8   =∽ , kesimpulan : garis yang sejajar sumbu y memiliki gradien=∽

                6 - 6         0   

mEF= -3 - 1  =   -4    

             3 - (-4)      7

mGH= -6 - (-6)   =  0    = 0 , kesimpulan : garis yang sejajar sumbu x memiliki gradien=0
               -3 - 5            -8

Menentukan gradien dari persamaan garis

Bentuk persamaan y=mx + c , memiliki gradien=m

Bentuk persamaan ax + by=c, memiliki gradien=-a/b

Contoh :

1. Garis y=½ x, gradiennya=½

2. Garis y=-3x + 5 , gradiennya=-3

3. Garis 5x - 4y=20, gradiennya=-5/-4=5/4

Garis yang saling sejajar dan garis yang saling tegak lurus

Perhatikan gambar berikut !

Gambar 3

Garis k melalui titik (1,0) dan (5,3) sehingga gradiennya 3/4
Garis l melalui titik (4,0) dan (0,-3) sehingga gradiennya 3/4
Garis m melalui titik (4,-4) dan (1,0) sehingga gradiennya -4/3

Dari gambar di atas terlihat bahwa garis k dan garis l saling sejajar dan memiliki gradien sama. Maka kesimpulannya adalah dua garis yang saling sejajar memiliki hubungan m1=m2

Garis m  terlihat kedudukannya tegak lurus terhadap garis k maupun garis l.
Gradien garis k=3/4, sedangkan gradien garis m= -4/3.
3/4 x -4/3=-1
Maka dua garis yang saling tegak lurus memiliki hubungan m1 x m2=-1, atau m2=-1/m1.

Menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y suatu garis

Garis y=mx
memiliki gradien m dan melalui titik O (0,0)

Garis y=mx + c
memiliki gradien m dan melalui titik (0,c)

Garis ax + by=c
memiliki gradien -a/b
titik potong sumbu x yaitu jika y=0, maka titik potongnya (-c/a , 0)
titik potong sumbu y yaitu jika x=0, maka titik potongnya (0, -c/b)

Menentukan persamaan garis

Jika diketahui garis bergradien m dan melalui satu titik (x1,y1)

rumus 2

Jika diketahui garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)

rumus 3

Contoh soal : 

1. Gambar yang menunjukkan garis dengan persamaan y=1½ x adalah.....

   

Gambar 4

2. Titik berikut yang terletak pada garis y=⅔ x - 5 adalah....

    a. A (2 , 3)                          c. C (- 5, 0)

    b. B (0 , -5)                         d. D (0 , 5)

3. Gradien garis h pada gambar di bawah adalah....

   

Gambar 5

    a. 2/5                b. -2/5                c. 5/2                     d. -5/2

4. Gradien garis yang melalui titik O dan titik P (12, -9) adalah...

   a. -4/3               b. -3/4                c. 3/4                     d. 4/3

5. Gradien garis yang melalui titik A (-4,7) dan B (2, -2) adalah....

   a. -3/2               b. -2/3                c. 2/3                     d. 3/2

6. Gradien dari garis dengan persamaan 2x + 6y=15 adalah....

   a. -3                  b. -1/3                 c. 1/3                    d. 3

7. Garis AB yang melalui titik A (1,4) dan B (3,p) sejajar dengan garis yang persamaannya y=3x -2. Maka nilai p yang memenuhi adalah....

   a. 10                 b. 8                      c. 2                       d. -2

8. Perhatikan persamaan-persamaan garis berikut !

    I.    x + 2y=5

    II.  2x + y=9

    III. 2x - y=3

    IV. y=-2x + 8

Dua garis yang saling tegak lurus adalah....

   a. I dan II          b. II dan III        c. I dan III           d. II dan IV

9. Persamaan garis yang bergradien -4 dan melalui titik (0,3) adalah....

   a. y=4x + 3                               c. y=3x + 4

   b. y=-4x + 3                             d. y=3x - 4

10. Jika suatu garis memilki persamaan 3x -5y -10=0, maka

      I.  bergradien 3/5

      II. melalui titik (0, -2)

      III.sejajar dengan garis y=5/3 x -5

      IV. tegak lurus dengan garis y=-5/3 x + 4

Pernyataan yang benar adalah....

   a. I dan II          b. I dan III        c. II dan III           d. II dan IV

11. Persamaan garis yang melalui titik (-2,-2) dan (4,1) adalah....
   a. 2x + 3y=6                             c. 2x + y=2
   b. x + y=8                                d. x - 2y=2

12. Persamaan garis yang melalui titik (2, -7) dan tegak lurus garis 4x - 3y + 8=0 adalah...
   a. 3x - 4y=34                            c. 3x + 4y=-22
   b. 4x + 3y=-13                         d. 4x - 3y=21

13. Persamaan garis yang melalui titik (-2,3) dan sejajar garis 2x + 4y=5 adalah....
   a. 2x - y + 4=0                          c. x - 2y=-4
   b. 2x + y=4                               d. x + 2y=4

14. Persamaan garis yang melalui titik (4, -6) dan sejajar dengan garis yang melalui titik (3, -4) dan (6, 2) adalah....
   a. y=½ x - 8                               c. y=2x - 14
   b. y= ½ x + 4                              d. y=2x - 2

15. Tiga titik P (-1,3a), Q (3 , -2) dan R (1 , a) berada dalam satu garis lurus. Tentukan nilai a yang memenuhi !
   a. -2                    b. - 1                 c. 1                    d. 2

Pembahasan

1. Persamaan y=1½ x, melalui titik (0,0) dan bergradien 1½=3/2
     komponen y  = 3 
     komponen x       2

     Jawaban : c

2. Persamaan y=⅔ x - 5 melalui titik (0, -5)
   Jawaban : b

3. Perhatikan gambar !

Gambar 6

     ke atas 2 satuan  = 2 
     ke kiri 5 satuan      -5

     maka gradien garis h=-2/5
     Jawaban : b


4. Melalui titik O (0,0) dan P (12, -9)

rumus 4

= 0 - (-9)   =  9   =-  3 
     0 - 12        -12        4
Jawaban : b


5.  A (-4,7) dan B (2, -2)
   m= 7 - (-2)   = 9   = -3 
           -4 - 2         -6          2
   Jawaban=a

6. Persamaan 2x + 6y=15
    a=2, b=6
   m=-a/b=-2/6=-1/3
   Jawaban=b

7. A (1,4) dan B (3,p) sejajar dengan garis  y=3x -2
   m1=m2
    4 - p   =3
    1 - 3
    4 - p   =3
      -2
   4 - p=3 x -2
   4 - p=-6
      - p=- 6 - 4
      - p=-10
        p=10
   jawaban : a

8. Gradien dari persamaan

    I.    x + 2y=5  adalah  -1/2

    II.  2x + y=9  adalah -2

    III. 2x - y=3   adalah -2/-1=2

    IV. y=-2x + 8 adalah -2

    Dua garis saling tegak lurus jika memenuhi m1 x m2=-1

    Maka yang memenuhi adalah garis I dan III

   Jawaban : c

9. Gradien -4 dan melalui titik (0,3)

   Persamaan garisnya y=-4x + 3

   Jawaban : b

10. Persamaan 3x -5y -10=0

   I. gradien=-3/-5=3/5

   II. jika x=0, maka 

       3(0) -5y - 10=0

          0 - 5y=10

             - 5y=10

                 y=10/-5=-2

          melalui titik (0, -2)

    III. m1 ≠ m2, maka tdak sejajar

    IV. m1=3/5, m2=-5/3

          m1 x m2=-1, maka tegak lurus

    Jawaban : d

11. Melalui titik (-2,-2) dan (4,1)

rumus 5

    y - (-2)   =   x - (-2) 

    1 - (-2)          4 - (-2)

    y + 2     =  x + 2 , (kali silang)

       3                 6

    6y + 12  = 3x + 6

    -3x + 6y  =6 - 12

   -3x + 6y  =-6,  (dibagi -3)

      x - 2y    =2

   Jawaban : d

12.  Melalui titik (2, -7) dan tegak lurus garis 4x - 3y + 8=0

       m1=-4/-3=4/3

       m2=-1/m1=-3/4

       y - y1  =m (x - x1)

       y - (-7)=-3/4 (x - 2)

       y + 7    =-3/4 x + 3/2, (dikali 4)

      4y + 28=-3x + 6

      3x + 4y=6 - 28

      3x + 4y=-22

      Jawaban : c

13. Melalui titik (-2,3) dan sejajar garis 2x + 4y=5 

      m1=-2/4=-1/2

      sejajar maka m1=m2

       y - y1  =m (x - x1)

       y -  3  =-1/2 (x -(-2))

       y - 3  =-1/2 x -1, (dikali 2)

       2y - 6=-x -2

       x + 2y=-2 + 6

       x + 2y=4

       Jawaban : d

    

14. Melalui titik (4, -6) dan sejajar dengan garis yang melalui titik (3, -4) dan (6, 2) 

     m= -4 - 2  = -6   =2

              3 - 6        -3

     y - y1  =m (x - x1)

     y - (-6)=2 (x - 4)

     y + 6    =2x - 8

     y          =2x - 8 - 6

     y          =2x - 14

     Jawaban : c

15. Titik P (-1,3a), Q (3 , -2) dan R (1 , a) dalam satu garis lurus

      Untuk menyelesaikan soal seperti ini pergunakan rumus :

rumus 6

    3a - (-2)   =   -2 - a 

      -1 - 3              3 - 1

    3a + 2     =   -2 - a  , (kali silang)

       -4                  2

     6a + 4  = 8 + 4a

    6a - 4a  = 8 - 4

        2a      = 4

          a      =4/2  =2

    Jawaban : d

 Semoga bermanfaat

https://www.radarhot.com/2018/10/gradien-dan-persamaan-garis-lurus.html